P3311 [SDOI2014]数数

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闲扯

这道题感觉很有价值，练习了 $AC$ 自动机上的 $DP$ 的同时，顺便加深一下对数位 $DP$ 的理解。

题面

P3311 [SDOI2014]数数

Solution

看到不能包含某个子串，我们先套路的建出 $AC$ 自动机，顺便处理出那些节点是不能选取的（会构成非法子串）。

然后问题就有些讲究了。

因为题目要求我们得到的数不能大于 $n$ ，所以我们可以想到将数位 $DP$ 放在 $AC$ 自动机上来跑。

我们设 $dp_{i,j,0/1}$ 表示当前填到第 $i$ 位，且在第 $j$ 个节点上。

$0,1$ 分别表示不压位和压位。

我们有如下的转移方程：

分别表示：

上一位没有压位的情况下，这一位 $[0,9]$ 可以随便填。

上一位压位的情况下，为了不压位，只能填 $[0,t[i]-‘0’)$ 。

前 $i$ 位均压位，所以必须由前 $i-1$ 位都压位转移，且这一位只能填 $t[i]-‘0’$ 。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
#define del(a,i) memset(a,i,sizeof(a))
#define ll long long
#define inl inline
#define il inl void
#define it inl int
#define ill inl ll
#define re register
#define ri re int
#define rl re ll
#define mid ((l+r)>>1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
template<class T>il read(T &x){
	int f=1;char k=getchar();x=0;
	for(;k>'9'||k<'0';k=getchar()) if(k=='-') f=-1;
	for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+k-'0';
	x*=f;
}
template<class T>il _print(T x){
	if(x/10) _print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
template<class T>il print(T x){
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	_print(x);
}
ll mul(ll a,ll b,ll mod){long double c=1.;return (a*b-(ll)(c*a*b/mod)*mod)%mod;}
it qpow(int x,int m,int mod){
	int res=1,bas=x;
	while(m){
		if(m&1) res=(1ll*res*bas)%mod;
		bas=(1ll*bas*bas)%mod,m>>=1;
	}
	return res;
}
const int MAXN = 2e3+5,mod = 1e9+7;
int n,m,cnt,dp[MAXN][MAXN][2],ans;
char s[MAXN],t[MAXN];
it add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
it mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
struct Trie{
	int vis[10];
	int fail;
	int end;
}T[MAXN];
il Build(char s[]){
	int now=0,len=strlen(s);
	for(ri i=0;i<len;++i){
		ri k=s[i]-'0';
		if(!T[now].vis[k])
			T[now].vis[k]=++cnt;
		now=T[now].vis[k];
	}
	T[now].end=1;
}
il Get_Fail(){
	queue<int> q;
	for(ri i=0;i<10;++i)
		if(T[0].vis[i])
			q.push(T[0].vis[i]);
	while(!q.empty()){
		ri pos=q.front();q.pop();
		T[pos].end|=T[T[pos].fail].end;
		for(ri i=0;i<10;++i){
			if(T[pos].vis[i])
				T[T[pos].vis[i]].fail=T[T[pos].fail].vis[i],
				q.push(T[pos].vis[i]);
			else
				T[pos].vis[i]=T[T[pos].fail].vis[i];
		}
	}
}
il DP(){
	n=strlen(t);
	for(ri i=1;i<t[0]-'0';++i)
		dp[0][T[0].vis[i]][0]=add(dp[0][T[0].vis[i]][0],1);
	dp[0][T[0].vis[t[0]-'0']][1]=1;
	for(ri i=1;i<n;++i){
		for(ri j=1;j<10;++j)
			dp[i][T[0].vis[j]][0]=add(dp[i][T[0].vis[j]][0],1);
		for(ri j=0;j<=cnt;++j){
			if(T[j].end)
				continue;
			for(ri k=0;k<10;++k)
				if(!T[T[j].vis[k]].end)
					dp[i][T[j].vis[k]][0]=add(dp[i][T[j].vis[k]][0],dp[i-1][j][0]);
			for(ri k=0;k<t[i]-'0';++k)
				if(!T[T[j].vis[k]].end)
					dp[i][T[j].vis[k]][0]=add(dp[i][T[j].vis[k]][0],dp[i-1][j][1]);
			if(!T[T[j].vis[t[i]-'0']].end)
				dp[i][T[j].vis[t[i]-'0']][1]=add(dp[i][T[j].vis[t[i]-'0']][1],dp[i-1][j][1]);
		}
	}
	for(ri i=0;i<=cnt;++i){
		if(T[i].end)
			continue;
		ans=add(ans,dp[n-1][i][0]);
		ans=add(ans,dp[n-1][i][1]);
	}
}
int main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	scanf("%s",t),read(m); 
	for(ri i=1;i<=m;++i){
		scanf("%s",s);
		Build(s);
	}
	Get_Fail();
	DP();
	print(ans);
	return 0;
}